Уравнения гравитации Эйнштейна-Гильберта могут быть получены вариационным методом. Уравнения геодезической линии материальной частицы находятся вариацией времени-подобного интервала. Однако вариация изотропного пути приводит к нарушению его изотропности. Получение уравнений геодезических без рассмотрения неизотропных путей с помощью механики Гамильтона содержит книга В. А. Фока "Теория пространства, времени и тяготения".
И принцип стационарного интеграла энергии системы в применении к светоподобной частице в гравитационном поле (Википедия) соответствует принципам вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы, не нарушая соответствия траектории светоподобной частицы в псевдоримановом пространстве-времени изотропному пути при виртуальных смещениях координат. Он дает уравнения, которые эквивалентны уравнениям обобщенного принципа Ферма, основанного на положениях геометрической оптики. Решения уравнений, получаемых из обобщенного принципа Ферма, эквивалентны изотропным геодезическим.
Принцип стационарного интеграла энергии для фотона в гравитационном поле по сравнению с обобщенным принципом Ферма производит систему уравнений, которая содержит на одно уравнение больше. Это позволяет, основываясь на механике Лагранжа, однозначно определить импульсы фотона и силы, действующие на него.
Получены преобразования вектора 4-импульса светоподобной частицы, найденного с помощью метода вариации энергии, при переходе от одной стационарной системы отсчета к другой в пространстве-времени Шварцшильда:
Применение вариационного принципа стационарного интеграла энергии для анализа динамики светоподобной частицы в искривленном пространстве позволяет отождествить гравитацию с действием силы на свободно движущийся фотон. В пространстве-времени Шварцшильда в пределе слабой гравитации она соответствует силе, действующей на частицу в Ньютоновской гравитации, что дает возможность определить пассивную гравитационную массу фотона. Она оказывается равной удвоенной массе материальной частицы эквивалентной ему энергии. Это соответствует результатам Р. Толмена, Б. Подольского и П. Эренфеста (R. C. Tolman, P. Ehrenfest, and B. Podolsky, On the Gravitational Field Produced by Light, Phys. Rev. 37, 602 (1931); Р. Толмен, Относительность, термодинамика и космология, Наука, Москва, 1974, п.115) для активной гравитационной массы, полученным при анализе притяжения световым лучём материальной частицы. Равенство пассивной и активной гравитационных масс подтверждает законы сохранения энергии и импульса при гравитационном взаимодействии света и материальных частиц и соблюдение третьего закона Ньютона. Применение закона сохранения для энергии как источника гравитационного поля предсказывает появление при аннигиляции частиц, обладающих отрицательной гравитационной массой и нулевыми энергией и импульсом, определяемыми из негравитационных взаимодействий.
Динамика частиц в гравитационном поле исследуется с использованием механики Лагранжа. Получены динамические уравнения, включающие скорость передачи энергии и импульса гравитационному полю. Рассмотрено движение частиц в поле Шварцшильда и в случае слабой гравитации определены пассивная гравитационная масса фотона и материальной частицы при условии, что гравитационное поле слабо влияет на ее движение. При данном условии найдена активная гравитационная масса для системы из двух одинаковых тел, движущихся в противоположных направлениях. Она не совпадает с их инертной массой.
Показано, что ее отношение к суммарной релятивистской массе частиц облака неограниченно возрастает при приближении скорости движения частиц к скорости света. Применимость преобразований Лоренца к изотропной метрике Шварцшильда при слабой гравитации экспериментально подтверждается наличием годичных колебаний частоты сигнала от Пионера 10:
Существование давления вакуума следует из космологических моделей, основанных на результатах наблюдений. Но есть возможность обнаружить давление вакуума в соответствии с геометрией пространства вокруг локальной гравитационной системы. Космологическое уравнение состояния получено из свойств локальной гравитационной системы.
Гравитационная масса тел, расположенных в ограниченном объеме, меньше суммы гравитационных масс этих тел, разнесенных на неограниченное расстояние. Это интерпретируется как передача энергии гравитационному полю, которое воздействует на вакуум, что приводит к его деформации. Отношение изменения собственной энергии сферического тела к изменению его собственного объема при постоянной гравитационной массе дает отношение плотности энергии к давлению равное 3, что соответствует предположению для различных полей Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица (Теория поля, т.2, примечание в п. 35), которое они доказали для релятивистского газа. Рассмотренное воздействие гравитационного поля на вакуум согласуется с предположением А. Д. Сахарова о том, что искривление пространства приводит к «метрической упругости», т. е. к появлению обобщенной силы, препятствующей его искривлению (Вакуумные квантовые флуктуации в искривленном пространстве и теория гравитации, Докл. АН СССР, 177:1 (1967), 70–71). Определяется гравитационное воздействие материи на вакуум в случае слабо тяготеющего статического центрально-симметричного распределения материи. Давление гравитационного поля на вакуум компенсируется давлением самого вакуума. Зависимость давления вакуума от плотности энергии оказывается p=-(1/3)q. Полученный результат может быть распространен на произвольные статические или близкие к статическим гравитационные системы с изотропным источником гравитации. Рассмотрены модели Вселенной с таким уравнением состояния. Оно соответствует условию, что именно давление вакуума является источником гравитации.
D. Yu. Tsipenyuk, W. B. Belayev, Dependence of universe deceleration parameter on cosmological constant: mechanism of vacuum pressure excitation by matter
Rom. Rep. Phys. 72(3), 113 (2020).
В статье
В.Б. Беляева и Д.Ю. Ципенюка , SpacetimeandSubstance 22 (2004) 49, предложена метрика пятимерного вращающегося сферического пространства-времени. Геодезическое движение материальной частицы в этом пространстве, связь данной модели с теорией Калуцы-Клейна, подробно рассмотрены в статье "Сферическое поле во вращающемся пространстве в пяти измерениях", и на русском.
Вращающаяся со средней скоростью Быстро вращающаяся
Цветом обозначена область эргосферы. В ней частицы могут двигаться только в направлении вращения Черной Дыры.
ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ КИНЕМАТИЧЕСКИМ ИМПУЛЬСОМ
В статье Д. Ю. Ципенюк, В. Б. Беляев, Оболочечные структуры в микрофизических объектах в 5-D
модели расширенного пространства, РАДИОЭЛЕКТРОНИКА. НАНОСИСТЕМЫ. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. 11, 3 (2019),
eng.
(по материалам доклада на 10м Интернациональном Семинаре А. Фридмана по Гравитации и Космологии) рассмотрено появление частиц с отрицательной гравитационной массой и нулевым кинематическим импульсом (g-) при аннигиляции пары e+_e- и обратный процесс: рождение электрона и позитрона из вакуума, при котором кроме них появляются частицы g+ с противоположной по знаку частице g- гравитационной массой и совпадающим импульсом. Такие процессы могут происходить при аккреции вещества на компактные звездные объекты. Эти частицы могут служить рабочим телом warp-двигателя.
В ней также на основе модели гравастар показано, что из соотношения между собственной и гравитационной массами электрона 2:1 следует, что радиус электрона близок к его радиусу Шварцшильда и составляет 1.38х10-57 м.
Постоянная Хаббла, определенная при использовании гравитационного линзирования реликтового фона: 68.3±1.5 km/s/Mpc и излучения от супернова: 66.6+4.1-3.3 km/s/Mpc, на 10% меньше ее значения, полученного с использованием шкалы внегалактических расстояний до супернова. В отличие от космологической модели LCDM, в которой пространство синхронно движется с материей, в модели, описываемой пертурбационной метрикой, пространство расширяется быстрее по сравнению с наблюдаемым разлетом материи. В системе отсчета наблюдателя скорость изменения энергии фотонов при радиальном движении и касательном к окружности с центром в точке наблюдения, определенная с помощью принципа стационарного интеграла энергии фотона, различна в таком пространстве-времени. Это объясняет разницу в измерениях постоянной Хаббла с помощью линзирования и дистанционной лестницы.
